Loading web-font TeX/Math/Italic
Ask Your Question
0

delitelnost

asked Dec 7 '14

Ondřej Šmíd gravatar image

updated Dec 7 '14

Miro Hrončok gravatar image

Jak mam prijit na to, ze plati: 4 | (a^2 + b^3 + 1) => ( a = 0 mod 2 AND b = 3 mod 4 )

Comments

MI-MPI nemá midterm

Miro Hrončok (Dec 7 '14)

No zdálo se mi to nějaké divné...

Josef Kokeš (Dec 7 '14)
add a comment

1 Answer

Sort by » oldest newest most voted
0

answered Dec 7 '14

Josef Kokeš gravatar image

updated Dec 7 '14

Správná implikace

a^2 + b^3 + 1 = 4k, a, b, k \in \mathbb{Z}

a^2 + b^3 = 4k - 1
Pravá strana druhé rovnice je lichá. Pokud by a i b byly sudé, je levá strana také sudá. Pokud by a i b byly liché, je levá strana sudá. Tudíž právě jedno z a, b musí být liché, tím pádem padají varianty A, D, E v zadání (A: čísla a a b jsou lichá. D: a = 1 (mod 4), b = 3 (mod 4). E: a i b jsou násobky 4.). B (a je prvočíslo) vyloučíme nejspíš nalezením protipříkladu, jako nejjednodušší bych zkusil postupně a=0, a=1 a a=4. Pro a=0 potřebuji liché b, zkusím b=3 a hned vidím, že to funguje (3^3 + 1 = 28 = 4*7).


Opačná implikace

Pozn.: Tato odpověď byla psána s předpokladem, že zadání OP je uvedené špatně a ve skutečnosti se požadovala opačná implikace. Nyní se zdá, že tento předpoklad neplatí a odpověď je tedy chybně. Nechávám ji tu pro úplnost, ale neberte na ni ohled!

Jste si jistý, že máte dokázat tohle? Do rozstřelu se mi to zdá jako docela pracné, museli bychom ukázat, že nemůže současně nastat levá strana a negace pravé strany, přičemž ta negace pravé strany znamená 7 různých variant. Není to v rozstřelu spíš opačně, že máte dokázat, že z pravé strany vyplývá levá strana? To jsem si teď zkoušel udělat a je to důkaz na tři minuty, tj. něco, co by mi do rozstřelu sedělo víc. Ale co já vím, třeba se za ty tři roky rozstřely zesložitily (nebo já něco zásadního přehlížím).

a \equiv 0 (\mathrm{mod} 2) \Rightarrow a = 2k, k \in \mathbb{Z}

b \equiv 3 (\mathrm{mod} 4) \Rightarrow b = 4l+3, l \in \mathbb{Z}
a^2 + b^3 + 1 = (2k)^2 + (4l+3)^3 + 1 = 4k^2 + 64l^3 + 144l^2 + 108l + 27 + 1 =
= 4(k^2 + 16l^3 + 36l^2 + 27l + 7)

link

Comments

Děkuji. Ale to je důkaz pro opačnou implikaci. Ale na fit-wiki v rozstřelu z 20. 12. 2013 je skutečně ta implikace, kterou jsem popsal v příspěvku.

Ondřej Šmíd (Dec 7 '14)

Proto se ptám, jestli jste si jistý. Pokud je zdrojem FIT-Wiki, tak to moje pochybnosti o správnosti vašeho zadání jen potvrzuje. (Já si například ze svých rozstřelů pamatuji právě tu obrácenou implikaci.)

Josef Kokeš (Dec 7 '14)

OK, doplněné zadání vypadá uvěřitelně. Opravím svou odpověď.

Josef Kokeš (Dec 7 '14)

Tak je možné, že tam mají chybu v zadání. Třeba časem narazím na nějaké zadání s opačnou implikací...

Ondřej Šmíd (Dec 7 '14)

Vylučovací způsob jsem také zkoušel. Snažil jsem se najít i nějaký konstruktivní důkaz či důkaz sporem, ale zatím neúspěšně.

Ondřej Šmíd (Dec 7 '14)
see more comments

Your answer

Please start posting your answer anonymously - your answer will be saved within the current session and published after you log in or create a new account. Please try to give a substantial answer, for discussions, please use comments and please do remember to vote (after you log in)!

Add answer

[hide preview]

Question tools

Follow
1 follower

Stats

Asked: Dec 7 '14

Seen: 160 times

Last updated: Dec 07 '14