Ask Your Question
3

Počet generátorů grupy prvočíselného řádu

asked 2014-11-23 13:23:11 +0100

Miro Hrončok gravatar image

updated 2014-11-23 16:58:29 +0100

Mějme následující otázku (kde pouze jedna odpověď má být správná): Zadání

Jako správná odpověď je označeno E. Pokud ale E platí, je každá grupa prvočíselného řádu cyklická. Proto si myslím, že platí i A, jelikož cyklická grupa má právě $\varphi(r)$ generátorů, kde $r$ je řád. A pro každé prvočíslo $p$ platí $\varphi(p) = p-1$. Co dělám špatně?

edit retag flag offensive close delete

Comments

Odkud pochází informace, že správná odpověď je pouze E?

Josef Kokeš ( 2014-11-23 16:54:49 +0100 )edit

Z vysledku, ktere byli k tomuto testu uverejnene na konci jeho zadani.

Jakub Průša ( 2014-11-23 16:56:11 +0100 )edit

A z faktu, že dle zadání je pouze a právě jedna odpověď správná. Upraveno v otázce.

Miro Hrončok ( 2014-11-23 16:57:58 +0100 )edit

Tak to je potom opravdu záhada. Počkám si, co na to @Tomáš Kalvoda.

Josef Kokeš ( 2014-11-23 17:01:34 +0100 )edit

3 Answers

Sort by » oldest newest most voted
4

answered 2014-11-23 17:46:44 +0100

Tomáš Kalvoda gravatar image

Odpověď na otázku "Co dělám špatně?" je IMHO "nic".

(E) je správně. To jednoduše plyne z Lagrangeovy věty. Pro libovolný ne-neutrální prvek $g$ grupy $G$ prvočíselného řádu je $H := \langle g \rangle$ její podgrupa. Její řád musí dělit řád $G$, což je prvočíslo. Protože $H$ obsahuje aspoň 2 prvky musí být její řád roven řádu $G$, čili $g$ je generátor.

(A) je taky pravda, jak bylo poznamenáno, $\varphi(p) = p-1$. Trochu bych tipoval, že v tom zadání měla být v bodě (A) multiplikativní grupa modulo prvočíslo $p$ (ta má řád $p-1$ a je cyklická s $\varphi(p-1)$ generátory). Pak by to bylo špatně, což zřejmě chceme.

edit flag offensive delete publish link more

Comments

Tak to moje odpověď nebyla až tak docela irelevantní. Sice nebyla relevantní k položené otázce, ale byla relevantní k zamýšlené otázce :-)

Josef Kokeš ( 2014-11-23 17:51:05 +0100 )edit
1

answered 2014-11-23 15:00:12 +0100

Josef Kokeš gravatar image

updated 2014-11-23 16:59:43 +0100

Multiplikativní grupa Zp nemá řád p, ale jen p-1. Protože tato grupa je tvořena prvky {1, 2, ..., p-1}, kterých je p-1. Přednáška 3, strana 9 a 13. (irelevantní)

Skoro to vypadá, že E opravdu není jediná správná odpověď. E platí ( http://planetmath.org/proofthateverygroupofprimeorderiscyclic ) a Mirovo zdůvodnění, proč při platnosti E musí platit i A, mi připadá v pořádku (přednáška 3, strana 16).

edit flag offensive delete publish link more

Comments

Já jsem teda asi nepochopil, jak se to týká původní otázky. U možnosti A se vůbec nemluví o multiplikativních grupách.

Viktor Chlumský ( 2014-11-23 15:35:04 +0100 )edit

Díky Viktore, nechal jsem se zmást. Netýká.

Miro Hrončok ( 2014-11-23 15:51:28 +0100 )edit

V zadání je prvočíselného řádu. Proto generátorů je prostě $\varphi(p)$ a to je $p-1$.

Miro Hrončok ( 2014-11-23 15:52:33 +0100 )edit
1

answered 2014-11-24 11:57:34 +0100

Karel Klouda gravatar image

V historii předmětu MI-MPI se asi čtyřikrát stalo to, že v rozstřelu byla chyba. Co si pamatuji, jednalo se o pokaženou definici ireducibilního polynomu (to bylo minimálně dvakrát), tento příklad, kde jsou dvě správné odpovědi, a pak se jednou vyskytl příklad, kdy nebylo správně nic. Pokud se něco takového stane, bodujeme to vždy výhodně pro studenty: v tomto případě jsme uznávali obě odpovědi, pokud není žádná správně, mají všichni automaticky body.

Ke zbytku se jako obvykle vyjádřil Tomáš.

edit flag offensive delete publish link more

Comments

Díky za potvrzení. Já bych ale zvolil v tomto případě při rozstřelu B. Protože C a D neplatí a A a E nemohou platit zároveň. Dostal bych body?

Miro Hrončok ( 2014-11-24 13:49:42 +0100 )edit
3

Mno, záleželo by, jak moc velké výčitky bych měl, asi ale ano, neb logika je neprůstřelná ;).

Karel Klouda ( 2014-11-24 13:53:41 +0100 )edit

Your answer

Please start posting your answer anonymously - your answer will be saved within the current session and published after you log in or create a new account. Please try to give a substantial answer, for discussions, please use comments and please do remember to vote (after you log in)!

Add answer

[hide preview]

Question tools

Follow
1 follower

Stats

Asked: 2014-11-23 13:23:11 +0100

Seen: 669 times

Last updated: Nov 24 '14