asked Nov 23 '14
Mějme následující otázku (kde pouze jedna odpověď má být správná):
Jako správná odpověď je označeno E. Pokud ale E platí, je každá grupa prvočíselného řádu cyklická. Proto si myslím, že platí i A, jelikož cyklická grupa má právě \varphi(r) generátorů, kde r je řád. A pro každé prvočíslo p platí \varphi(p) = p-1. Co dělám špatně?
answered Nov 23 '14
Odpověď na otázku "Co dělám špatně?" je IMHO "nic".
(E) je správně. To jednoduše plyne z Lagrangeovy věty. Pro libovolný ne-neutrální prvek g grupy G prvočíselného řádu je H := \langle g \rangle její podgrupa. Její řád musí dělit řád G, což je prvočíslo. Protože H obsahuje aspoň 2 prvky musí být její řád roven řádu G, čili g je generátor.
(A) je taky pravda, jak bylo poznamenáno, \varphi(p) = p-1. Trochu bych tipoval, že v tom zadání měla být v bodě (A) multiplikativní grupa modulo prvočíslo p (ta má řád p-1 a je cyklická s \varphi(p-1) generátory). Pak by to bylo špatně, což zřejmě chceme.
Tak to moje odpověď nebyla až tak docela irelevantní. Sice nebyla relevantní k položené otázce, ale byla relevantní k zamýšlené otázce :-)
Josef Kokeš (Nov 23 '14)answered Nov 24 '14
V historii předmětu MI-MPI se asi čtyřikrát stalo to, že v rozstřelu byla chyba. Co si pamatuji, jednalo se o pokaženou definici ireducibilního polynomu (to bylo minimálně dvakrát), tento příklad, kde jsou dvě správné odpovědi, a pak se jednou vyskytl příklad, kdy nebylo správně nic. Pokud se něco takového stane, bodujeme to vždy výhodně pro studenty: v tomto případě jsme uznávali obě odpovědi, pokud není žádná správně, mají všichni automaticky body.
Ke zbytku se jako obvykle vyjádřil Tomáš.
Díky za potvrzení. Já bych ale zvolil v tomto případě při rozstřelu B. Protože C a D neplatí a A a E nemohou platit zároveň. Dostal bych body?
Miro Hrončok (Nov 24 '14)Mno, záleželo by, jak moc velké výčitky bych měl, asi ale ano, neb logika je neprůstřelná ;).
Karel Klouda (Nov 24 '14)answered Nov 23 '14
Multiplikativní grupa Zp nemá řád p, ale jen p-1. Protože tato grupa je tvořena prvky {1, 2, ..., p-1}, kterých je p-1. Přednáška 3, strana 9 a 13. (irelevantní)
Skoro to vypadá, že E opravdu není jediná správná odpověď. E platí ( http://planetmath.org/proofthateverygroupofprimeorderiscyclic ) a Mirovo zdůvodnění, proč při platnosti E musí platit i A, mi připadá v pořádku (přednáška 3, strana 16).
Já jsem teda asi nepochopil, jak se to týká původní otázky. U možnosti A se vůbec nemluví o multiplikativních grupách.
Viktor Chlumský (Nov 23 '14)V zadání je prvočíselného řádu. Proto generátorů je prostě \varphi(p) a to je p-1.
Miro Hrončok (Nov 23 '14)Asked: Nov 23 '14
Seen: 669 times
Last updated: Nov 24 '14
Copyright students of FIT CTU and others, 2014. Content on this site is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International license.
Odkud pochází informace, že správná odpověď je pouze E?
Josef Kokeš (Nov 23 '14)Z vysledku, ktere byli k tomuto testu uverejnene na konci jeho zadani.
Jakub Průša (Nov 23 '14)A z faktu, že dle zadání je pouze a právě jedna odpověď správná. Upraveno v otázce.
Miro Hrončok (Nov 23 '14)Tak to je potom opravdu záhada. Počkám si, co na to @Tomáš Kalvoda.
Josef Kokeš (Nov 23 '14)