asked 2014-11-23 13:23:11 +0100
Mějme následující otázku (kde pouze jedna odpověď má být správná):
Jako správná odpověď je označeno E. Pokud ale E platí, je každá grupa prvočíselného řádu cyklická. Proto si myslím, že platí i A, jelikož cyklická grupa má právě $\varphi(r)$ generátorů, kde $r$ je řád. A pro každé prvočíslo $p$ platí $\varphi(p) = p-1$. Co dělám špatně?
answered 2014-11-23 17:46:44 +0100
Odpověď na otázku "Co dělám špatně?" je IMHO "nic".
(E) je správně. To jednoduše plyne z Lagrangeovy věty. Pro libovolný ne-neutrální prvek $g$ grupy $G$ prvočíselného řádu je $H := \langle g \rangle$ její podgrupa. Její řád musí dělit řád $G$, což je prvočíslo. Protože $H$ obsahuje aspoň 2 prvky musí být její řád roven řádu $G$, čili $g$ je generátor.
(A) je taky pravda, jak bylo poznamenáno, $\varphi(p) = p-1$. Trochu bych tipoval, že v tom zadání měla být v bodě (A) multiplikativní grupa modulo prvočíslo $p$ (ta má řád $p-1$ a je cyklická s $\varphi(p-1)$ generátory). Pak by to bylo špatně, což zřejmě chceme.
Tak to moje odpověď nebyla až tak docela irelevantní. Sice nebyla relevantní k položené otázce, ale byla relevantní k zamýšlené otázce :-)
Josef Kokeš ( 2014-11-23 17:51:05 +0100 )editanswered 2014-11-24 11:57:34 +0100
V historii předmětu MI-MPI se asi čtyřikrát stalo to, že v rozstřelu byla chyba. Co si pamatuji, jednalo se o pokaženou definici ireducibilního polynomu (to bylo minimálně dvakrát), tento příklad, kde jsou dvě správné odpovědi, a pak se jednou vyskytl příklad, kdy nebylo správně nic. Pokud se něco takového stane, bodujeme to vždy výhodně pro studenty: v tomto případě jsme uznávali obě odpovědi, pokud není žádná správně, mají všichni automaticky body.
Ke zbytku se jako obvykle vyjádřil Tomáš.
Díky za potvrzení. Já bych ale zvolil v tomto případě při rozstřelu B. Protože C a D neplatí a A a E nemohou platit zároveň. Dostal bych body?
Miro Hrončok ( 2014-11-24 13:49:42 +0100 )editMno, záleželo by, jak moc velké výčitky bych měl, asi ale ano, neb logika je neprůstřelná ;).
Karel Klouda ( 2014-11-24 13:53:41 +0100 )editanswered 2014-11-23 15:00:12 +0100
Multiplikativní grupa Zp nemá řád p, ale jen p-1. Protože tato grupa je tvořena prvky {1, 2, ..., p-1}, kterých je p-1. Přednáška 3, strana 9 a 13. (irelevantní)
Skoro to vypadá, že E opravdu není jediná správná odpověď. E platí ( http://planetmath.org/proofthateverygroupofprimeorderiscyclic ) a Mirovo zdůvodnění, proč při platnosti E musí platit i A, mi připadá v pořádku (přednáška 3, strana 16).
Já jsem teda asi nepochopil, jak se to týká původní otázky. U možnosti A se vůbec nemluví o multiplikativních grupách.
Viktor Chlumský ( 2014-11-23 15:35:04 +0100 )editV zadání je prvočíselného řádu. Proto generátorů je prostě $\varphi(p)$ a to je $p-1$.
Miro Hrončok ( 2014-11-23 15:52:33 +0100 )editAsked: 2014-11-23 13:23:11 +0100
Seen: 669 times
Last updated: Nov 24 '14
Copyright students of FIT CTU and others, 2014. Content on this site is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International license.
Odkud pochází informace, že správná odpověď je pouze E?
Josef Kokeš ( 2014-11-23 16:54:49 +0100 )editZ vysledku, ktere byli k tomuto testu uverejnene na konci jeho zadani.
Jakub Průša ( 2014-11-23 16:56:11 +0100 )editA z faktu, že dle zadání je pouze a právě jedna odpověď správná. Upraveno v otázce.
Miro Hrončok ( 2014-11-23 16:57:58 +0100 )editTak to je potom opravdu záhada. Počkám si, co na to @Tomáš Kalvoda.
Josef Kokeš ( 2014-11-23 17:01:34 +0100 )edit