Ask Your Question
2

Grupa $\mathbb{Z}_4^+ × \mathbb{Z}_5^{\times}$ a její vlastnosti

asked 2014-11-23 10:23:24 +0100

Miro Hrončok gravatar image

updated 2014-11-23 17:11:51 +0100

Projíždíme otázky z minulých let a narazili jsme na následující otázku:

Zadání

Možnosti B a D jsme vyloučili. Zůstávají možnosti A, C a E. A a E se ale navzájem podmiňují, tedy z A plyne E (protože naše grupa má řád 16) a také obráceně. Zbývá tedy C, což je uvedeno jako správná odpověď.

Jak na odpověď C přijít jiným způsobem než vylučovací metodou anebo metodou brute force?

edit retag flag offensive close delete

1 Answer

Sort by » oldest newest most voted
3

answered 2014-11-23 10:47:47 +0100

Tomáš Kalvoda gravatar image

Pravdivost C je patrná na první pohled. Máte co dočinění s přímým součinem dvou grup (http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product_of_groups), z nichž obě jsou cyklické.

Pokud tedy vezmete například $\langle (1,1) \rangle$, tak dostanete netriviální cyklickou podgrupu. Při mocnění v jedné složce se "nic neděje" (v druhé, $1$ jakožto neutrální prvek v té multiplikativní) a v první máte generátor té aditivní. Tato podgrupa je izomorfní té první složce součinu, $\mathbb{Z}_4^+$.

edit flag offensive delete publish link more

Comments

Takže stačí vzít <(generátor té první, neutrální prvek té druhé)> (či obráceně) a mám vlastně netriviální cyklickou podgrupu izomorfní s tou první (respektive s tou druhou). To dává smysl, díky.

Miro Hrončok ( 2014-11-23 11:03:06 +0100 )edit

Přesně tak.

Tomáš Kalvoda ( 2014-11-23 11:08:30 +0100 )edit

Your answer

Please start posting your answer anonymously - your answer will be saved within the current session and published after you log in or create a new account. Please try to give a substantial answer, for discussions, please use comments and please do remember to vote (after you log in)!

Add answer

[hide preview]

Question tools

Follow
1 follower

Stats

Asked: 2014-11-23 10:23:24 +0100

Seen: 1,567 times

Last updated: Nov 23 '14