delitelnost

answered 2014-12-07 09:05:34 +0100

Josef Kokeš
2956 ●20 ●35 ●73

updated 2014-12-07 13:45:51 +0100

Správná implikace

$$ a^2 + b^3 + 1 = 4k, a, b, k \in \mathbb{Z} $$ $$ a^2 + b^3 = 4k - 1 $$ Pravá strana druhé rovnice je lichá. Pokud by a i b byly sudé, je levá strana také sudá. Pokud by a i b byly liché, je levá strana sudá. Tudíž právě jedno z a, b musí být liché, tím pádem padají varianty A, D, E v zadání (A: čísla a a b jsou lichá. D: a = 1 (mod 4), b = 3 (mod 4). E: a i b jsou násobky 4.). B (a je prvočíslo) vyloučíme nejspíš nalezením protipříkladu, jako nejjednodušší bych zkusil postupně a=0, a=1 a a=4. Pro a=0 potřebuji liché b, zkusím b=3 a hned vidím, že to funguje (3^3 + 1 = 28 = 4*7).

Opačná implikace

Pozn.: Tato odpověď byla psána s předpokladem, že zadání OP je uvedené špatně a ve skutečnosti se požadovala opačná implikace. Nyní se zdá, že tento předpoklad neplatí a odpověď je tedy chybně. Nechávám ji tu pro úplnost, ale neberte na ni ohled!

Jste si jistý, že máte dokázat tohle? Do rozstřelu se mi to zdá jako docela pracné, museli bychom ukázat, že nemůže současně nastat levá strana a negace pravé strany, přičemž ta negace pravé strany znamená 7 různých variant. Není to v rozstřelu spíš opačně, že máte dokázat, že z pravé strany vyplývá levá strana? To jsem si teď zkoušel udělat a je to důkaz na tři minuty, tj. něco, co by mi do rozstřelu sedělo víc. Ale co já vím, třeba se za ty tři roky rozstřely zesložitily (nebo já něco zásadního přehlížím).

$$ a \equiv 0 (\mathrm{mod} 2) \Rightarrow a = 2k, k \in \mathbb{Z}$$ $$ b \equiv 3 (\mathrm{mod} 4) \Rightarrow b = 4l+3, l \in \mathbb{Z}$$ $$ a^2 + b^3 + 1 = (2k)^2 + (4l+3)^3 + 1 = 4k^2 + 64l^3 + 144l^2 + 108l + 27 + 1 = $$ $$ = 4(k^2 + 16l^3 + 36l^2 + 27l + 7)$$