Cyklická multiplikativní grupa a generátory

MI
MI-MPI

asked Dec 2 '14

David Šenkýř
23 ●1 ●1 ●6

Josef Kokeš
2956 ●20 ●35 ●73

Můžete mne prosím někdo nasměrovat, jak postupovat u tohoto příkladu?

Máme cyklickou multiplikativní grupu $\mathbb{Z}_{34}^{\times}$ . Otázkou je pro jakou množinu $A$ je následující výrok pravdivý: Prvek $a$ je generátorem zmíněné grupy, jestliže $a^n \neq 1$ pro všechna $n \in A$ .

Možnosti jsou:

(A) $A =$ { $2, 4$ }
(B) $A =$ { $8$ }
(C) $A =$ { $1, 2, 4$ }
(D) Ani pro jednu z nabízených možností
(E) $A =$ { $1, 2, 4, 16$ }

Začal jsem řádem grupy, který odpovídá $\varphi(34) = 16$ . Dále lze spočítat počet generátorů cyklické grupy, těch je $\varphi($ řád grupy $) = \varphi(16) = 8$ . Platí, že $a^n = e$ v grupě řádu $n$ a $a^0 = e$ . V tomto případě $e = 1$ . Mohu tedy vyloučit možnost (E) – protože $a^{16} = e = 1$ .

Co z toho mohu využít a jak lze postupovat dále? Děkuji.

add a comment

Comments

Děkuji moc za odpověď :-). Takže se dá říct, že největší podgrupa má 8 prvků a jelikož $a^8 \neq 1$ , nedojde k zacyklení na podgrupu – $a$ generuje celou grupu. A jak jsi napsala: $a^2 = 1 \Rightarrow a^4 = 1 \Rightarrow a^8 = 1$ .

David Šenkýř (Dec 2 '14)

Přesně tak. V jiném příkladu tam vyšel řád grupy např. 12, což má dělitele 2,3,4,6 a jelikož a^2 = 1 a z toho a^4=1, a podobně b^3 = 1 a z toho b^6 = 1, tak výsledkem bylo {4,6}.

Iva Houdková (Dec 3 '14)

add a comment

Cyklická multiplikativní grupa a generátory

1 Answer

Comments

Your answer

Question tools

Stats

Related questions