Cyklická multiplikativní grupa a generátory
asked 2014-12-02 20:34:30 +0100
Můžete mne prosím někdo nasměrovat, jak postupovat u tohoto příkladu?
Máme cyklickou multiplikativní grupu $\mathbb{Z}_{34}^{\times}$. Otázkou je pro jakou množinu $A$ je následující výrok pravdivý: Prvek $a$ je generátorem zmíněné grupy, jestliže $a^n \neq 1$ pro všechna $n \in A$.
Možnosti jsou:
- (A) $A = ${$2, 4$}
- (B) $A = ${$8$}
- (C) $A = ${$1, 2, 4$}
- (D) Ani pro jednu z nabízených možností
- (E) $A = ${$1, 2, 4, 16$}
Začal jsem řádem grupy, který odpovídá $\varphi(34) = 16$. Dále lze spočítat počet generátorů cyklické grupy, těch je $\varphi($řád grupy$) = \varphi(16) = 8$. Platí, že $a^n = e$ v grupě řádu $n$ a $a^0 = e$. V tomto případě $e = 1$. Mohu tedy vyloučit možnost (E) – protože $a^{16} = e = 1$.
Co z toho mohu využít a jak lze postupovat dále? Děkuji.
