Processing math: 100%
Ask Your Question
2

Podmínky na řešení kongruence

asked Nov 23 '14

Iva Houdková gravatar image

Mohl by mi prosím někdo vysvětlit, jak se řeší tenhle příklad?

Vyberte podmínku pro číslo x tak, aby postihla všechna řešení kongruence 32x = 40(mod 56):

a) x = 10(mod 56)

b) x = 10(mod 7)

c) x = 10(mod 14)

d) ani jedna z možností

e) x = 3(mod 28)

Správně má být b), odhadem bych řekla, že to bude mít něco společného s tím, že platí 56|7 i 40|10, ale nějak vůbec nechápu, jak se takový typ příkladů obecně řeší.

add a comment

2 Answers

Sort by » oldest newest most voted
1

answered Nov 23 '14

Josef Kokeš gravatar image

updated Nov 23 '14

Viz přednáška o lineární kongruenci (přednáška 7, strana 15, 16).

32x \equiv 40 (\mod{56}) \gcd{(32, 56)} = 8 8|40 \Rightarrow \text{rovnice má řešení a platí} \frac{32}{8}x \equiv \frac{40}{8} (\mod{\frac{56}{8}}) 4x \equiv 5 (\mod{7}) 4^{-1} \equiv 2 (\mod{7}) 2 \cdot 4 \cdot x \equiv 2 \cdot 5 (\mod{7}) x \equiv 10 (\mod{7})

Případně také stránky 17, 18. Tady jsem se z Bezoutem nechtěl trápit, protože na tu inverzi "kouknu a vidím".

link

Comments

to jsem tak nejak napsal, ale ve vic divoke forme :D

Jakub Průša (Nov 23 '14)

Všiml jsem si. Ale chtěl jsem to napsat tak, jak to je v přednáškách, aby to bylo snadněji pochopitelné a aby si to mohl každý snadno dohledat (wild-guess by mohl být problematický, kdyby pro řešení bylo potřeba splnit nějaké další podmínky).

Josef Kokeš (Nov 23 '14)
add a comment
1

answered Nov 23 '14

Jakub Průša gravatar image

Jako minimalne wild-guess muze byt si zkratit rovnici co to jde takze 4x = 5 mod 7 a pak muzes upravit tak ze udelas 4x*4^-1 = 5 *4^-1 mod 7 a to je x = 5 * 2 mod 7 a to je zas x = 10 mod 7 . Ale myslim ze mne matematikari ukamenujou

jinak uplne korektni postup je asi najit bezutovy koeficienty z toho zjistit x1 coz je nejake reseni a pak z neho najdes vsechny reseni jako x = x1 mod (m/gcd(a,m))

link

Comments

A ta podmínka řešení je, že gcd(a,m) dělí b beze zbytku.

Miro Hrončok (Nov 23 '14)
add a comment

Your answer

Please start posting your answer anonymously - your answer will be saved within the current session and published after you log in or create a new account. Please try to give a substantial answer, for discussions, please use comments and please do remember to vote (after you log in)!

Add answer

[hide preview]

Question tools

Follow
1 follower

Stats

Asked: Nov 23 '14

Seen: 377 times

Last updated: Nov 23 '14