Jak se počítá vektor posunutí u součtu variet?

answered 2015-06-28 22:04:37 +0100

Tomáš Kalvoda
960 ●10 ●16 ●24

updated 2015-06-28 22:07:30 +0100

Nejprve si připomeňme, co je to varieta. Máme vektorový prostor $V$ (nad tělesem $T$), vektor $a \in V$ a podprostor $P \subset\subset V$. Množinu \[ W = a + P := \{ a + v \mid v \in P\}\] nazýváme lineární varietou. O vektoru $a$ mluvíme jako o vektoru posunutí variety $W$ a o podprostoru $P$ jako o zaměření variety $W$, značíme ho $Z(W)$.

Všimněme si, že jako vektor posunutí variety $W$ můžeme zvolit libovolný vektor ležící na $W$. Skutečně, je-li $a_2 = a + u \in W$, kde $u \in P$, pak \[ a_2 + P = \{ a_2 + v \mid v\in P\} = \{ a + (u+v) \mid v \in P \} = \{ a + v \mid v \in P \} = W. \] Nezapomínejme, že $P$ je podprostor a tedy pro libovolný $u \in P$ platí $P + u = P$ (díky uzavřenosti vzhledem ke sčítání).

Nyní k původnímu dotazu. Mějme dvě variety $W_1 = a_1 + P_1$ a $W_2 = a_2 + P_2$. Jejich součet je \[ W_1 + W_2 = \{w_1 + w_2 \mid w_1 \in W_1, w_2 \in W_2\} = \{ a_1 + u + a_2 + v \mid u \in P_1, v \in P_2 \} = \] \[ = \{ a_1 + a_2 + w \mid w \in P_1 + P_2 \} = (a_1 + a_2) + (P_1 + P_2). \] Řečeno prostými slovy, součet našich variet je varieta se zaměřením $P_1 + P_2$ a s vektorem posunutí (například) $a_1 + a_2$.

Ještě jinak řečeno, vektor posunutí součtu variet je součet libovolných dvou vektorů z původních variet.