Baze pruniku linearnich obalu

answered 2015-05-11 20:39:47 +0100

Tomáš Kalvoda
960 ●10 ●16 ●24

updated 2015-05-11 20:49:40 +0100

Zkusme to podrobně rozebrat: Vektor $x\in\mathbb{R}^4$ je v průniku uvedených obalů, právě když existují čísla $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$ splňující $$ x =\alpha(-2,1,1,-1) + \beta (-1,0,1,0) = \gamma (1,-2,0,-2) + \delta (1,1,0,0) + \epsilon (1,-2,0,-1). $$ Nalezněme všechny $\alpha,\ldots,\epsilon$ splňující tuto rovnost. To vede na homogenní soustavu čtyř rovnic o pěti neznámých $$ \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Sloupce po řadě odpovídají výše uvedeným neznámým. Gaussovou eliminací tuto soustavu převedeme na soustavu $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 1 \end{pmatrix}. $$ Množinu všech řešení této soustavy (v "prostoru parametrů") lze parametrizovat jedním parametrem $s$, platí $$ (\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon) = (-3,3,-5,1,7) \cdot s, \quad s \in \mathbb{R}. $$ Vrátíme-li se k původnímu vyjádření vektoru $x$, tak (použijeme-li výraz s dvěma vektory, tedy parametry $\alpha$ a $\beta$, tak dostaneme, že všechna $x$ v průniku lze vyjádřit takto: $$ x = -3s (-2,1,1,-1) + 3s (-1,0,1,0) = 3s (1,-1,0,1). $$ Po zahození nepodstatné konstanty to znamená, že průnik je $\langle (1,-1,0,1) \rangle$, jeho báze třeba $(1,-1,0,1)$.

Kdybychom použili parametry $\gamma,\delta,\epsilon$ s bazickými vektory z druhého podprostoru, tak samozřejmě dostaneme stejný výsledek.

Za pravdu mi dává i Sage. Na dotaz

V = SR^4
P1 = V.span([
        V([ -2,1,1,-1]),
        V([-1,0,1, 0])
    ])
P2 = V.span([
        V([1,-2,0,-2]),
        V([1, 1,0, 0]),
        V([1,-2,0,-1])
    ])
P1.intersection(P2)

odpovídá takto:

Vector space of degree 4 and dimension 1 over Symbolic Ring
Basis matrix:
[ 1 -1  0  1]