answered
2015-05-11 20:39:47 +0100
Zkusme to podrobně rozebrat: Vektor $x\in\mathbb{R}^4$ je v průniku uvedených obalů, právě když existují čísla $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon$ splňující
$$ x =\alpha(-2,1,1,-1) + \beta (-1,0,1,0) = \gamma (1,-2,0,-2) + \delta (1,1,0,0) + \epsilon (1,-2,0,-1). $$
Nalezněme všechny $\alpha,\ldots,\epsilon$ splňující tuto rovnost. To vede na homogenní soustavu čtyř rovnic o pěti neznámých
$$
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Sloupce po řadě odpovídají výše uvedeným neznámým. Gaussovou eliminací tuto soustavu převedeme na soustavu
$$
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 4 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & -7 & 1
\end{pmatrix}.
$$
Množinu všech řešení této soustavy (v "prostoru parametrů") lze parametrizovat jedním parametrem $s$, platí
$$
(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon) = (-3,3,-5,1,7) \cdot s, \quad s \in \mathbb{R}.
$$
Vrátíme-li se k původnímu vyjádření vektoru $x$, tak (použijeme-li výraz s dvěma vektory, tedy parametry $\alpha$ a $\beta$, tak dostaneme, že všechna $x$ v průniku lze vyjádřit takto:
$$
x = -3s (-2,1,1,-1) + 3s (-1,0,1,0) = 3s (1,-1,0,1).
$$
Po zahození nepodstatné konstanty to znamená, že průnik je $\langle (1,-1,0,1) \rangle$, jeho báze třeba $(1,-1,0,1)$.
Kdybychom použili parametry $\gamma,\delta,\epsilon$ s bazickými vektory z druhého podprostoru, tak samozřejmě dostaneme stejný výsledek.
Za pravdu mi dává i Sage. Na dotaz
V = SR^4
P1 = V.span([
V([ -2,1,1,-1]),
V([-1,0,1, 0])
])
P2 = V.span([
V([1,-2,0,-2]),
V([1, 1,0, 0]),
V([1,-2,0,-1])
])
P1.intersection(P2)
odpovídá takto:
Vector space of degree 4 and dimension 1 over Symbolic Ring
Basis matrix:
[ 1 -1 0 1]