Báze průniku podprostorů

asked Apr 14 '15

Juraj Šedivý
75 ●4 ●6 ●13

Počítám 2. domácí úkol od Mgr. Kleprlíka, a trochu kysnu na třetím příkladu. Q jsem si nejprve explicitae vyjádřil jako lineární obal, a pak jsem hledal bázi k součtu P a Q - potaď dobrý, chápu.

Z 1. věty o dimenzi jsem pak dostal dim(P∩Q) = 1, ale dál přesně nevím, jak postupovat. Vím, jaká je definice průniku množin (potažmo podprostorů), a samozřejmě se to dělalo i na cvikách, ale pořád z toho nejsem moudrý.

Pamatuju si teda, že když už mám spočítané bázové vektory P+Q, tak najít nějakou jejich LK (v tomto případě právě jednu), která je zároveň z P a zároveň z Q, bylo docela přímočaré... ale ani za boha to nevidím :)

Jak na to?

(P.S. vědomě to pokládám jako veřejnou otázku, takže nechci podrobné a kompletní řešení - spíš jen posunout správným směrem.)

Comments

Tato otázka se mi zdá shodná s https://askfit.cz/question/2309/

olsak (May 26 '15)

add a comment

answered Apr 15 '15

Miro Hrončok

1310 ●17 ●30 ●43 http://hroncok.cz/

updated Apr 15 '15

Pokud víš, že dim(P∩Q) = 1 (a já teď nijak neověřuji správnost toho tvrzení) a hledáš bázi toho prostoru, tak vlastně hledáš jakýkoliv (nenulový) vektor z toho prostoru. Víš, že to musí být vektor z P i z Q. Tzn víš, že lze vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z báze P:

$(k+2l, 3k+l, k+2l, k+l)$

Tak aby platili podmínky z Q:

$(k+2l) + 2(3k+l) = 0$

$7k = -4l$

Pokud si zvolím $k=-4$ a $l=7$ , dostávám rovnost a vektor:

$(10, -5, 10, 3)$

Který by (za předpokladu, že jsem neudělal někde chybu), měl být z $Q \cap P$ a pokud je opravdu dimenze tohot prostoru 1, je tedy i jeho bazí.

Comments

A když nad tím přemýšlím, tak to že pak k závisí na l vlastně potvrzuje, že dimenze je 1

Miro Hrončok (Apr 15 '15)

A jó. Měl jsem slabou chvilku :) Teď už i vidím, že ta matice, ze které jsem spočetl bázi P+Q, je stejná, jako ta, která vede k nalezení báze toho průniku (Njn, proč asi. Pozorování á la "those who don't understand linear algebra are condemned to reinvent it, poorly.") Ďakovala.

Juraj Šedivý (Apr 15 '15)

add a comment

Báze průniku podprostorů

Comments

1 Answer

Comments

Your answer

Question tools

Stats

Related questions